Tek Serbestlik Dereceli Sistemlerin Doğal Frekans Hesabı

0
6460

Eğer sistemde sürtünme veya benzeri dirençler sebebi ile enerji kaybı ve sönümüne sebep olacak bir etki yok ise titreşim problemi sönümsüz (undamped) olarak adlandırılır. Titreşim problemlerini incelerken sönüm ihmal edilerek çözüm basitleştirilebilir, fakat sönüm etkileri özellikle rezonans durumu için oldukça önemlidir.

Bu makalede sönümsüz tek serbestlik dereceli sistem incelenecek ve örnek çalışma yapılacaktır.

Tek Serbestlik Dereceli Sönümsüz Bir Sistemin Serbest Titreşimleri

Kütle yay sisteminin matematiksel modeli;

Genel Dinamik Denklem

Tek serbestlik dereceli sönümsüz bir sistemin hareket denkleminde C=0 ve F(t)=0 kabul edilir. Denklem en son aşağıdaki şeklini alır ;

Tek Serbestlik Dereceli Sönümsüz Model
Tek Serbestlik Dereceli Sönümsüz Model

Hareket denkleminin çözümü için x(t) = aest kabulü yapılır ve a ve s sabitleri belirlenir.
Kabul edilen çözüm ve türevleri hareket denkleminde yerine konur;

Hareket Denklemi Türevi Frekans Uzayı

Başlangıçta kabul edilen çözümün geçerli ve işe yarar bir çözüm olabilmesi için aest’nin
sıfırdan farklı olması gereklidir. Bu durumda aest teriminin çarpanı, karakteristik denklem belirtir ve sıfıra eşit olmalıdır ve bu denklemi sıfır yapan s değerleri sistemin özdeğerleri (eigenvalue) olarak adlandırılır ve her iki s değeri de karakteristik denklemi sağlar.

Hareket Denklemi Karakteristik Kökleri

Tek serbestlik dereceli sistemin serbest titreşimlerinin frekansı aşağıdaki gibidir;

Açısal Frekans DenklemiTek Serbestlik Dereceli Sönümsüz Bir Problemin SOLIDWORKS Simulation ile Doğal Frekansının Hesaplanması

Kütlesi m= 2kg olan ve yay sabiti k=10000N/m olan bir kütle yay sisteminin doğal frekansını teorik formüller aracılığıyla ile hesaplanmasını ve analiz programında nasıl hesaplanacağına dair inceleme gerçekleştirelim.

Kütle-Yay Sistemi Örnek Model Oluşturulması
Kütle-Yay Sistemi Örnek Model Oluşturulması

Teorik olarak Doğal Frekansın Hesaplanması

Yukarıda yer alan formülde problemde verilen değerleri kullanarak doğrudan hesaplama yapabiliriz.

Açısal Frekans Denklem

Analiz Programı Aracılığıyla Doğal Frekansın Hesaplanması

Malzeme Bilgisi

Sistemde yer alan parçalar için 1060 Alüminyum Alaşım malzemesi kullanılmıştır. 1060 Alüminyum Alaşım malzemesi mekanik özellikleri aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.

1060 Alüminyum Malzeme Bilgisi
1060 Alüminyum Malzeme Bilgisi

Sınır Koşullar 

Program içerisinde yay tanımlaması yapılabilmesi için modelin alt ve üst parçalarında yayın geleceği yerlere nokta ataması yapılmıştır.

 

Model Üzerinde Noktaların Belirlenmesi
Model Üzerinde Noktaların Belirlenmesi

Bağlantı elemanları arasında yer alan yay tanımı seçilerek konumlar arasındaki noktalar seçilmiştir. Problemde verilen yay sabiti değeri burada girilmiştir.

Yay Bağlantı Elemanının Tanımlanması
Yay Bağlantı Elemanının Tanımlanması

Model alt yüzeyinden sabitleme işlemi yapılmıştır.

Alt Modelin Sabitlenmesi
Alt Modelin Sabitlenmesi

Üst parçanın her yüzeyi seçilerek sadece Z ekseni yönünde hareket edecek şekilde sınırlandırma yapılmıştır.

Üst Modelin Sadece Z Yönünde Hareket Edecek Şekilde Sınır Koşulunun Belirlenmesi
Üst Modelin Sadece Z Yönünde Hareket Edecek Şekilde Sınır Koşulunun Belirlenmesi

Bu modelde hacim eleman kullanılarak mesh gerçekleştirilmiştir. Yüksek kalite mesh uygulanmıştır. 115376 düğüm(node), 75222 eleman ile mesh atılmıştır. Mesh detayları aşağıdaki görselde gösterilmiştir.

 

Kütle-Yay Sistemi Mesh Bilgisi
Kütle-Yay Sistemi Mesh Bilgisi

Analiz unsur ağacında analiz başlığına sağ tıklayarak “Özellikler” kısmına girilerek Çözücü tipi ve frekans mod sayısı, üst sınır ve yakın frekans hesaplama seçenekleri düzenlenebilmektedir.

Özellikler Kısmında Yer Alan Frekans Ayarlarının Gösterimi
Özellikler Kısmında Yer Alan Frekans Ayarlarının Gösterimi

Analiz Sonuçları

Frekans analizi çözüm sonrası frekans değerleri aşağıdaki gibi listelenmiştir. Bu liste Analiz unsur ağacında “Sonuçlar” kısına sağ tıklayıp “Rezonans Frekanslarını Listele” denilerek çıkartılmaktadır.

 

Rezonans Frekanslarının Listelenmesi
Rezonans Frekanslarının Listelenmesi

Kütle yay sisteminde  ilk doğal frekansı yaklaşık 71,004 Rad/sn çıkmıştır. Rad/sn – Hertz cinsinden dönüşümler aşağıdaki formül aracılığıyla hesaplanmaktadır.

Rad/sn - Hertz Dönüşüm Formülü
Rad/sn – Hertz Dönüşüm Formülü

 

Kütle Yay Modelinin Mod Şekli
Kütle Yay Modelinin Mod Şekli

Mod Şekil değişim grafiklerinde, yan kısımda çıkan AMPRES değerleri sayısal olarak incelenmemelidir. Bu değerler model üzerinde oransal olarak bir skala belirlemek adına göz önünde bulundurulmalıdır.

 

Frekans Animasyonu
Frekans Animasyonu
Teorik Hesaplama FEA (SOLIDWORKS Simulation)
Doğal Frekans Değeri(Rad/sn)         70,71           71,004

 

Yapılan frekans analizinde teorik sonuçlar ile hesaplanan değer arasındaki fark %1 kadar çıkmıştır. Böylelikle incelenen sistem matematiksel olarak hesaplanmıştır ve analiz işlemleri gerçekleştirilerek doğrulama gerçekleştirilmiştir.

SOLIDWORKS Simulation Professional paket ile frekans analizi gerçekleştirerek modelin titreşim ve deformasyonunu detaylı inceleyebilirsiniz.

KAYNAKLAR:

  1. ) Theory of Vibrations-W.T.Thomson, Elements of Vibration Analysis-L. Meirovitch, Vibrations of Continuous Systems-S. Rao, Fundamentals of Mechanical Vibrations-S.G. Kelly, Vibration Problems in Engineerin-W.Weaver, S.P. Timoshenko,
    D.H. Young, Engineering Vibrations-D.J. Inman, Mühendislik Sistemlerinin Modellenmesi ve Dinamiği-Yücel Ercan

 

SOLIDWORKS Simulation hakkında detaylı bilgi almak için ürün sayfasını ziyaret edebilirsiniz:
ELITE APPLICATION ENGINEER-SOLIDWORKS SIMULATION EXPERT- SOLIDWORKS BETA TESTER

YANIT VER

Mesajınızı yazın
Adınızı buraya girin